Hvordan faktorgrenser med kubiske eksponenter

 

1.

Bekreft at bekymringsfunksjonen faktisk ikke har en klar grense hvis du bare plugger inn nummeret som er begrenset til.

For eksempel, anta du må finne grensen for [x ^ 3-12x + 16] / [x ^ 2 + 2x-8] som x går til 2. Her viser caret ^ eksponering. Hvis du plugger inn 2, får du null over null, noe som ikke har noen betydning.

Faktor telleren og nevnen ved å dele ut et binomial som har som rot det tallet som variabelen konvergerer i grense.

Dette høres komplisert, så se på hvordan det ville gjelde for eksempelet ovenfor. Du tar taket for funksjonen ovenfor ved 2. Så del binomialet x-2 i kubikken for å få x ^ 2 + 2x-8. (Merk at [x ^ 2 + 2x-8] * (x-2 ) = x ^ 3-12x + 16.) Funksjonen ovenfor er nå (x-2) [x ^ 2 + 2x-8] / [x ^ 2 + 2x-8]. Hvis du har glemt polynomell lang divisjon fra algebra klasse, se ressurs-delen nedenfor for et eksempel.

3.

Avbryt de vanlige polynomene i teller og nevner.

Fortsetter med eksempel ovenfor, merk at du ikke trenger å faktor x-2 ut av nevnen fordi x ^ 2 + 2x-8 i telleren og nevneren avbryter, forlater x-2. Men hvis du hadde vurdert x- 2 ut av nevnen, du 'd har fått (x-2) (x + 4). Så funksjonen i sin helhet ville være (x-2) [x ^ 2 + 2x-8] / [(x-2) (x + 4)]. Avbryter x-2 i teller og nevner forlater [x ^ 2 + 2x-8] / (x + 4).

4.

Ta tak i funksjonen nå.

Fortsett med eksempelet, grensen som x går til 2 av [x ^ 2 + 2x-8] / (x + 4) er 0 delt med 6 (dvs. 0). < / p>

Tips og advarsler

  • For å redusere tiden som lang divisjon tar, er to nyttige likninger for factoring cubics disse kjente formlene: (xy) ^ 3 = (xy) (x ^ 2 + xy + y ^ 2) og (x + y) ^ 3 = (x + y) (x ^ 2 xy + y ^ 2). For eksempel kan (x-2) ^ 3 skrives (x-2) (x ^ 3 + 2x + 4). Hvordan huske slike komplekse formler? Det negative tegnet i binomialet til den første ligningen er ingen overraskelse. Derfra må du bare huske på at faktoriseringen for begge ligningene bare har ett negativ i den. Så xy får det negative tegnet i den andre ligningen.
  • Du kan komme over grenseproblemer i kalkulator som har kubiske eksponenter i teller eller nevner. Problemet med å ta grenser når du får en kubikk oppstår når telleren og nevnen til den aktuelle funksjonen begge er like null hvis du plugger inn nummeret som variabelen er begrenset til. Så du må faktorere og forenkle funksjonen for å gjøre den sanne grensen mer tydelig.