Hvordan finne relative maksimale og minimale derivater

 

Finne Minimum og Maksimale Derivater

1.

Finn avledet av funksjonen din.



Noen eksempler:

Hvis din funksjon, f (x) = 3x, deretter din derivat, f '(x) = 3.

Hvis g (y) = 4 (y-2) ^ 2 + 6, så er derivatet ditt, g '(y) = 8 * (y-2).

Hvis h (z) = sin (z), så h '(z) = cos (z).

2.

Finn derivatet av derivatet av funksjonen din, ellers kjent som det andre derivatet.



Fra eksemplene:

For f (x) = 3x og f '(x) = 3, så f '' (x) = 0. For g (y) = 4 (y-2) ^ 2 + 6 og g '(y) = 8 * (y-2 ), så g '' (y) = 8. For h (z) = sin (z) og h '(z) = cos (z), så h' = -in (z).

3.

Sett det andre derivatet lik null. Det andre derivatet av funksjonen din vil bare være null når det første derivatet har minimum eller maksimum.



Hvert av de tre eksemplene ovenfor viser forskjellig oppførsel. For f (x) = 3x, f '' (x) = 0. For hvilke verdier av x er f '' = 0? Alle sammen. Derfor har derivatet ditt et minimum eller maksimum på hvert punkt, noe som ikke gir mening før du husker at derivatet, f '(x) er lik 3 overalt. Så det har ingen minima eller maxima, eller det har samme maksimum og minimum overalt, som er 3.



For g (y) = 4 (y-2) ^ 2 + 6, g '' (y) = 8. For hvilke verdier av y er g '' = 0? Ingen av dem; det er alltid lik 8, så derivatet av funksjonen din har ingen minima eller maksima. Igjen virker det rart før du ser på grafen og ser at din første kvadratiske funksjon g (y) har et første derivat som bare er en rett linje --- ingen dips eller humper for å gjøre ekstrem.



For h (z) = sin (z), h '' (z) = - synd (z). For hvilke verdier av z er -sin (z) = 0? Ved z = 0, +/- pi, +/- 2 * pi, osv. Se nå tilbake til det første derivatet og sett inn verdiene til z som vi nå mener å svare til minima og maxima. cos (z) = cos (z). Cos (0) = 1, som vi vet er et maksimum for cosinusfunksjonen. Cos (pi) = - 1, som vi vet er et minimum for cosinus osv. p>

4.

Begrens nå rekkevidden for uavhengige variabelen for å finne de relative maksimale og minimale derivatene. I denne sammenheng betyr relativ maksimum bare maksimumet over et gitt utvalg av uavhengige variabler. vårt tredje eksempel ovenfor, kan vi be om det relative maksimumet mellom z = 3 * pi og 5 * pi, og vi finner ekstrem på 3 * pi, 4 * pi og 5 * pi. For dette eksempelet er cosinusfunksjonen kjent for det punktet hvor vi vet at det er minimum ved 3 pi og 5 pi, og maksimalt ved 4 pi.



Dette trinnet har gitt oss ekstremt, men det forteller oss ikke sikkert hvilke er maxima og hvilke er minima. Et siste skritt vil fjerne den gjenværende forvirringen.

5.

Ta avledet av funksjonen en gang til. Hvis det er positivt i ekstremmen, så er det i det minste, hvis det er negativt, er du maksimalt.



Vårt eksempel igjen: Det andre derivatet er h '' (z) = - sin (z), derivatet av det er h '' '(z) = - cos (z). I området z = 3 * pi til 5 * pi andre derivat var lik null ved 3 * pi, 4 * pi og 5 * pi, så det er de verdiene vi er interessert i. -cos (3 * pi) = 1, noe som er positivt, så ekstrema vi fant er et minimum. -cos (4 * pi) = - 1, slik at extrema er et maksimum. Og cos (5 * pi) = 1, så extrema det er et annet minimum. Alt som er i samsvar med det vi vet om cosinusfunksjonen.

Tips og advarsler

  • Som med alle matteproblemer er skjønnheten og fallgruvene i detaljene: skriv ut trinnene dine og vær forsiktig.
  • Differensiering er et matematisk verktøy som evaluerer måten en funksjon endres med hensyn til noen uavhengig variabel. I hovedsak er derivatet av en funksjon ved et bestemt punkt den øyeblikkelige helling av funksjonen på det punktet. En funksjon som er maksimalt har en positiv helling før maksimumet, og en negativ helling etter maksimumet. Det betyr, i nesten alle tilfeller, er avledet av funksjonen null på maksimum. Vi kan bruke det faktum til å identifisere lokale minima og maksima for enhver kontinuerlig, differensierbar funksjon.