Fractaloversikt

Forstå Kochkurven krever en fraktal geometrioversikt. Fractalene dannes ved å gjenta et geometrisk mønster ved kontinuerlig mindre skalaer. En fraktal, uansett hvor åpenbart komplisert, består av to temaer: et trinn iterasjon og geometrisk repetisjon i mindre skalaer. En ekte fraktal oppnås bare i grensen til uendelige iterasjonstrinn. Visuelle avbildninger representerer tilstrekkelig ideen, siden kontinuerlig mindre skalaer gjør det umulig å skildre fraktaler som Koch-kurven utover seks eller syv iterasjoner.

Iterasjonsbeskrivelse

I Koch-kurven er et fraktalmønster på 60-graders- til-baseline segmenter en tredjedel lengden på den forrige linjen gjentas. Delen av basislinjen under en nyformet trekant er slettet. Slike geometriske manipulasjoner, fortsetter på ubestemt tid, danner Koch-kurven.

Ingen tangenter

I motsetning til konvensjonelle kurver understreket i vanlige matematikklasser, gjør den fraktale naturen til en Koch-kurve det umulig å definere en tangent på et hvilket som helst punkt på kurven . En tangent er en lineær tilnærming av en kurve ved et punkt. Når domenet til en jevn kurve smalner, ligner den gradvis en rett linje. Koch-kurvens fraktalformulering - uendelig mange iterasjoner i skarp vinkel - gjør tilnærming til en rett linje umulig. Kochkurven har en geometrisk egenskap som f (x) = | x | ved x = 0, hvor ingen tangent er definert.

Kurv Dimensjon

Koch Kurve dimensjonen er illustrerende for fraktaler 'motintuitive lengdeareal egenskaper. Formelt kalt Hausdorff Dimension, det er en generalisering av vanlig integer dimensjonalitet. Med mindre tilfeldighet har hver fraktal en unik Hausdorff-dimensjon. Koch-kurven har en Hausdorff-dimensjon av logg (4) / log (3), eller omtrent 1,2619. Akkurat som et firkantområde vedrører lengden med en eksponent på 2, og kubevolumet vedrører kantlengden med en eksponent på 3, er et ideelt Koch-kurveområde relatert til lengden med en eksponent på ca. 1,2619.

Koch Snowflake

Koch Snowflake er nært knyttet til Koch-kurven. I stedet for å starte med en enkelt linje, begynner du med en like-sidig trekant. Påfør samme iterative trinn. Den første iterasjonen ligner en Davidsstjerne med interne linjesegmenter som mangler. Etterfølgende iterasjoner på hver side av Koch Snowflake avslører 'snowflake' likhet. Kochkurven er et kjent eksempel på fraktal geometri. Fractals fanger iterasjoner samt algebraiske forhold i vinkel og skala til original størrelse. I motsetning til funksjonsbaserte kurver av formen y = f (x), er en Koch-kurve ingensteds kontinuerlig, og har derfor ingen tangent hvor som helst langs dens lengde. På grunn av Koch-kurvens unike konstruksjon har den en noninteger-dimensionalitet. Kochkurver eksisterer ikke i matematisk isolasjon, men kan kombineres for å danne den berømte Koch Snowflake.