Hvordan beregne nuller av polynomier

 

For hånd

1.

Sett polynomet i formaksen ^ 2 + bx + c, hvis polynomet er andreord.

I dette tilfellet er a, b og c konstanter, og x er en variabel. (Merk at hvis a = 0, så er polynomet første rekkefølge, det vil si bare en lineær ligning og kan løses for hånd med grunnleggende aritmetiske manipulasjoner. Med andre ord gir bx + c = 0 bx = -c, eller x = -c / b.)

Bruk den kvadratiske formelen til å løse nuller.

Den kvadratiske formelen er x = [- b +/- u0026 # x221A; (b ^ 2 - 4ac)] / [2a], som er løsningen til ligningen ax ^ 2 + bx + c = 0. (Dette kan bevises ved hjelp av metoden for å fylle rutene eller ved å sette inn løsningen i formelen for å se at den stemmer.)

+/- betyr her 'pluss eller minus'. Hvis b ^ 2 - 4ac ikke er lik null, gir ligningen ovenfor to nuller. (Merk at n-th-ordinærpolynomene har n nuller.)

3.

Bruk jeg til å representere (1), hvis b ^ 2 - 4ac u0026 lt ; 0.

Dette vil gi komplekse tall som nuller av økse ^ 2 + bx + c. Komplekse tall er tall som inkluderer det imaginære nummeret jeg. I x-y-planet vil kurven for økse ^ 2 + bx + c ikke røre x-aksen til noen verdi for x. Derfor kaster noen mattebøker svaret som meningsløst. Men å definere kvadratroten til et negativt tall som produktet av i ganger, får kvadratroten av den absolutte verdien av tallet seg rundt dette hindret.

For eksempel, '# 100' = <1> <10> <10>

Ved datamaskin: Biseksjonsmetode

1.

Bestem to verdier x nær forventet null i polynomet, P (x), slik at polynomet er av motsatt tegn på de to punktene.

Det vil si de to verdiene x1 og x2 skal være slik at tegnet (P (x1)) = - sign (P (x2)).

Derfor vil de to x -verdiene binde nullet, og P (x1) og P (x2) ) vil være over og under x-aksen, som begrenser x-aksen.

2.

Beregn midtpunktet mellom x1 og x2.

I andre ord, definer x3 = (x1 + x2) / 2.

3.

Bestem tegnet på polynomet ved x3, det vil si tegnet på P (x3).

Slett x-verdien som gir det samme tegnet som x3.

Hvis x1 og x3 for eksempel gir samme tegn til P (x), kaste bort x1. < /p>

5.

Beregn midtpunktet for de to resterende x-verdiene, slik det ble gjort i trinn 2.

6.

Fortsett å gjenta trinn 3-5 til P (x) er nærmere null enn noen toleranse, hvor x er tilnærming av roten i den regionen.

x som skyver absoluttverdien av P (x) under Dette toleransnivået, for eksempel 0,001, er den numeriske tilnærmingen til null for P (x). Med andre ord, en x har blitt funnet slik at | P (x) - 0 | u0026 Lt; toleranse nivå.

Gjenta deretter fremgangsmåten ovenfor, start fra trinn 1 igjen, for å finne alle andre nuller av P (x).

(Merk at n-th rekkefølgen polynomene har n nuller.)

Ved datamaskin: Newton-Raphson

1.

Løs for derivatet av polynomet, P (x).

Monomen av form c --- x ^ n, hvor c og n er konstanter, har derivat cn --- x ^ (n-1). Derivatet av et polynom er summen av derivatene av monomene. Derivatet av en konstant av seg selv er null, siden en konstant s graf er flat, det vil si ikke variere med x. Så, for eksempel, er derivatet av P (x) = 2x ^ 2 + 3 P` (x ) = 4x. (Merk merket av P som indikerer derivatet.)

2.

Gjør det beste guesset om nullpunktet i polynomet, bare for å ha utgangspunkt Ring det x1.

Løs x2 = x1 - P (x1) / P` (x1).

4.

Gjenta trinn 3 for å lage x3 fra x2, x4 fra x3 osv.

5.

Stopp iterasjonen (gjentakelse av trinn 3) etter at en x har vært fant stedene P (x) så nær null som ønsket.

Tips og advarsler

  • Funksjonene f (x) som røttene, eller nuller, som finnes, trenger ikke å være polynomier. De to numeriske (beregningsmessige) metodene ovenfor stod ikke på funksjonene som er polynomier og kan brukes mer generelt.
  • Newton-Raphson-metoden er imidlertid ikke generaliserbar til alle funksjoner. Funksjonen må være differensierbar. Så hvorfor bruke det på al l? Fordi det konvergerer til nuller raskere enn biseksjonsmetoden hvis funksjonen er differensierbar.
  • Et enkeltvariable polynom er summen av konstante multipler av en variabel hevet til forskjellige eksponenter. For eksempel er 1 + x et førsteordenspolynom fordi den høyeste eksponenten til x er 1. 2 + 3x + x ^ 3 er et tredjeordenspolynom. Nullene (eller røttene) til et polynom er verdiene for x hvor polynomet er null. Nullen av andreord og nedre polynomene kan løses for hånd ved bruk av kvadratisk formel. Høyere-ordinære polynomene må vanligvis løses med omtrentlige metoder ved hjelp av en datamaskin.