For hånd
1.
Sett polynomet i formaksen ^ 2 + bx + c, hvis polynomet er andreord.
I dette tilfellet er a, b og c konstanter, og x er en variabel. (Merk at hvis a = 0, så er polynomet første rekkefølge, det vil si bare en lineær ligning og kan løses for hånd med grunnleggende aritmetiske manipulasjoner. Med andre ord gir bx + c = 0 bx = -c, eller x = -c / b.)
Bruk den kvadratiske formelen til å løse nuller.
Den kvadratiske formelen er x = [- b +/- u0026 # x221A; (b ^ 2 - 4ac)] / [2a], som er løsningen til ligningen ax ^ 2 + bx + c = 0. (Dette kan bevises ved hjelp av metoden for å fylle rutene eller ved å sette inn løsningen i formelen for å se at den stemmer.)
+/- betyr her 'pluss eller minus'. Hvis b ^ 2 - 4ac ikke er lik null, gir ligningen ovenfor to nuller. (Merk at n-th-ordinærpolynomene har n nuller.)
3.
Bruk jeg til å representere (1), hvis b ^ 2 - 4ac u0026 lt ; 0.
Dette vil gi komplekse tall som nuller av økse ^ 2 + bx + c. Komplekse tall er tall som inkluderer det imaginære nummeret jeg. I x-y-planet vil kurven for økse ^ 2 + bx + c ikke røre x-aksen til noen verdi for x. Derfor kaster noen mattebøker svaret som meningsløst. Men å definere kvadratroten til et negativt tall som produktet av i ganger, får kvadratroten av den absolutte verdien av tallet seg rundt dette hindret.
For eksempel, '# 100' = <1> <10> <10>
Ved datamaskin: Biseksjonsmetode
1.
Bestem to verdier x nær forventet null i polynomet, P (x), slik at polynomet er av motsatt tegn på de to punktene.
Det vil si de to verdiene x1 og x2 skal være slik at tegnet (P (x1)) = - sign (P (x2)).
Derfor vil de to x -verdiene binde nullet, og P (x1) og P (x2) ) vil være over og under x-aksen, som begrenser x-aksen.
2.
Beregn midtpunktet mellom x1 og x2.
I andre ord, definer x3 = (x1 + x2) / 2.
3.
Bestem tegnet på polynomet ved x3, det vil si tegnet på P (x3).
Slett x-verdien som gir det samme tegnet som x3.
Hvis x1 og x3 for eksempel gir samme tegn til P (x), kaste bort x1. < /p>
5.
Beregn midtpunktet for de to resterende x-verdiene, slik det ble gjort i trinn 2.
6.
Fortsett å gjenta trinn 3-5 til P (x) er nærmere null enn noen toleranse, hvor x er tilnærming av roten i den regionen.
x som skyver absoluttverdien av P (x) under Dette toleransnivået, for eksempel 0,001, er den numeriske tilnærmingen til null for P (x). Med andre ord, en x har blitt funnet slik at | P (x) - 0 | u0026 Lt; toleranse nivå.
Gjenta deretter fremgangsmåten ovenfor, start fra trinn 1 igjen, for å finne alle andre nuller av P (x).
(Merk at n-th rekkefølgen polynomene har n nuller.)
Ved datamaskin: Newton-Raphson
1.
Løs for derivatet av polynomet, P (x).
Monomen av form c --- x ^ n, hvor c og n er konstanter, har derivat cn --- x ^ (n-1). Derivatet av et polynom er summen av derivatene av monomene. Derivatet av en konstant av seg selv er null, siden en konstant s graf er flat, det vil si ikke variere med x. Så, for eksempel, er derivatet av P (x) = 2x ^ 2 + 3 P` (x ) = 4x. (Merk merket av P som indikerer derivatet.)
2.
Gjør det beste guesset om nullpunktet i polynomet, bare for å ha utgangspunkt Ring det x1.
Løs x2 = x1 - P (x1) / P` (x1).
4.
Gjenta trinn 3 for å lage x3 fra x2, x4 fra x3 osv.
5.
Stopp iterasjonen (gjentakelse av trinn 3) etter at en x har vært fant stedene P (x) så nær null som ønsket.