Simultaneous Equations Methods

  Samtidige ligninger gjelder for de samme variablene samtidig. Du må løse ligningene sammen for å få det riktige svaret. De to grunnleggende metodene for å løse samtidige ligninger er tilleggsmetoden og substitusjonsmetoden. Cramer-regelen er en spesiell metode som bare brukes til to likninger med to ukjente. Du kan kombinere tilleggs- og substitusjonsmetoder og gjenta for å løse samtidige ligninger med mer enn to variabler.

Tilleggsmetode for to likninger med to ukjente

Den generelle tilleggsmetoden er som følger: 'Når ett par koeffisienter er negativer til hverandre, legger du til ligningene vertikalt, og det ukjente avbrytes. Du vil da ha en ligning i ett ukjent, som du kan løse. '



Løs samtidig for x og y:

2x + y = 4

x - y = -1

Legg likningene vertikalt: 2x + x = 3x; y + -y = 0; 4 + -1 = 3

Ny ligning: 3x = 3

Nå løse denne ligningen for x for å få x = 1

Erstatt deretter tilbake til toppligningen 2x + y = 4 for å få 2 + y = 4

Nå løse denne ligningen for y for å få y = 2

Sjekk: 2 (1) +2 = 4 og 1 - 2 = -1

Så løsningen er x = 1 og y = 2

Substitusjonsmetode for to likninger med to ukjente

Den generelle substitusjonsmetoden er som følger: 'Løs en av ligninger for en ukjent i forhold til den andre. Så erstatt det i den andre ligningen. Det vil gi en ligning i ett ukjent, som du kan løse. 'Løs samtidig for x og y:

2x + y = 4

x - y = -1

Løs 2x + y = 4 for y for å få y = 4 - 2x.

Stedfortreder denne ligningen i x - y = -1

Ny ligning: x - (4 - 2x) = -1. Forenkle denne ligningen for å få 3x - 4 = -1. Løs nå x for å få x = 1

Så erstatt dette tilbake til y = 4 - 2x for å få y = 4 - 2 (1)

Løs for y for å få y = 2

Siden dette samsvarer med resultatet fra tilleggsmetoden, er det ikke nødvendig å sjekke.

Så løsningen er x = 1 og y = 2

Cramer's Rule: Metoden for determinanter

Denne metoden krever bruk av determinanter som er dekket av lineær algebra. Et hvilket som helst system med to likninger med to ukjente kan skrives i skjemaet Ax + By = C og ax + by = c, hvor A og a er koeffisientene til x og s og B og b er koeffisientene til y .



Dette gir matrisen:

| AB |

| ab |

Tallet D = Ab - Ba er determinant for den matrisen.



Nå vurder matrisen hvor C erstatter A og c erstatter a:
< br /> | CB |

| cb |

Tallet Dx = Cb - Bc er determinant for den matrisen.



Nå vurder matrisen hvor C erstatter B og c erstatter b:

| AC |

| tallet Dy = Ac - Ca er determinant av den matrisen. Cramer's regel sier: 'I hvert system av to likninger i to ukjente hvor determinanten D er ikke 0, x = Dx / D og y = Dy / D. 'Bruk Cramers regel til å løse dette system av ligninger:

5x + 3y = -11

2x + 4y = -10



D = 5 * 4 + 3 * 2 = 14

Dx = -11 * 4 - 3 * -10 = -14

Dy = 5 * -10 - (-11 ) * 2 = -28

Fra Cramers regel har vi x = Dx / D = -14/14, så x = -1. Fra Cramers regel har vi y = Dy / D = -28/14, så y = -2.

Sjekk: 5 ( -1) + 3 (-2) = -11 og 2 (-1) + 4 (-2) = -10

Så løsningen er x = -1 og y = -2

Generell metode for n ligninger med n Unknowns

Strategien for å løse et n-ligningsproblem er å redusere det til (n-1) ligninger med (n-1) ukjente ved å bruke tilleggs- og substitusjonsmetodene. Som et eksempel, vurder et system med tre likninger med tre ukjente. Strategien vil være å redusere den til et system med to likninger med to ukjente. Du gjør dette ved å eliminere en av de ukjente fra to par av ligninger.



Løs ligningene samtidig for x, y og z:

x + y - z = 4

x - 2y + 3z = -6

2x + 3y + z = 7



Eliminere z. Først bør du vurdere likningene 1 og 3:

x + y - z = 4

2x + 3y + z = 7

Legg vertikalt for å få Den nye ligningen 4: 3x + 4y = 11.


Nå vurderer ligningene 1 og 2:

x + y + - z = 4

x - 2y + 3z = -6

Løs ligning 1 for z å få: z = x + y -4

Erstatt til ligning 2 for å få: x - 2y + 3 (x + y - 4) = -6.

Forenkle for å få den nye ligningen 5: 4x + y = 6



Nå løse ligningene 4 og 5 for x og y ved å bruke substitusjon (eller hvilken som helst metode ovenfor):

3x + 4y = 11

4x + y = 6

Løs ligning 5 for y for å få y = 6 - 4x og erstatt tilbake til ligning 4 for å få: 3x + 4 (6 - 4x) = 11.

Forenkle og løse for x: -13x = -13 derfor x = 1

Nå erstatt tilbake til ligning 5 og løse for y: 4 (1) + y = 6, derfor y = 2

Nå erstatt x og y inn i ligning 1 (eller noen av de opprinnelige ligningene): 1 + 2 - z = 4

Løs for z å få z = -1

Så løsningen er x = 1, y = 2, z = -1